Question

（2013?朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD ∥ EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别

（2013?朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD ∥ EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG ∥ 平面PDE；（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG ∥ PE． 又因为FG?平面PED，PE?平面PED，所以，FG ∥ 平面PED．…（4分） （Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB． 又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE． 由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH ∥ BC，则FH⊥平面ABE． 而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分） （Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下： 在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以 BE= 5 ． 在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以 PE= 5 ， 所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB． 要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM． 因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D， 所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC． 若PB⊥FM，则△PFM ∽ △PCB，可得 PM PB = PF PC ． 由已知可求得 PB=2 3 ， PF= 3 ， PC=2 2 ，所以 PM= 3 2 2 ．…（14分）