Question

已知函数f（x）=x2-2alnx（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）

已知函数f（x）=x2-2alnx（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间（0，2]上的最小值．

Answer 1

Answer 2

（1）f′（x）=2x-2×

a

x

=

2(x2?a)

x

，
若函数f（x）是定义域（0，+∞）上的单调函数，
则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²-a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
即只要a≤0，又a≠0，
实数a的取值范围（-∞，0）．
（2）当a＞0时，f′（x）=

2(x2?a)

x

=

2(x+ a )(x? a )

x

，
函数f（x）在区间（0，

a

）上为减函数，在区间（

a

，+∞）上为增函数．
（i）当

a

＜2时，即0＜a＜4时，函数在（0，

a

）上递减，[

a

，2]上递增，
所以当x=

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