Question

设数列an的前n项和为Sn，a1=1，且．an+1＝2sn+1，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{bn}

设数列an的前n项和为Sn，a1=1，且．an+1＝2sn+1，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{bn}的各项均为正数，其n项和Tn，且T3=15又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn；（III）求数列{anbn}的前n项和Pn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+1，∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+1，
两式相减，整理可得a_n+1=3a_n，
又a₁=1，a₂=2S₁+1=3=3a₁，
所以{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
故a_n=3^n-1．
（Ⅱ）设数列{b_n}的公差为d，则d＞0．
由T₃=15得b₂=5．
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，∴d=2，∴b₁=3，
∴T_n=3n+

n(n?1)

2

×2=n²+2n；
（III）由a_n=3^n-1，b_n=1+2n，所以a_nb_n=（1+2n）×3^n-1，
故Pn＝3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)×3n?1，
∴3Pn＝3×3+5×32+7×33+…+(2n+1)×3n
两式相减得，?2Pn＝3+2(3+32+33+…+3n?1)?(2n+1)×3n=-2n?3ⁿ，
∴Pn＝n?3n．