Question

在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC交AC于D，如图，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足．M是AC中点，E是B

在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC交AC于D，如图，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足．M是AC中点，E是BC中点．若△PQM的外接圆O与AC的另一个交点为H，求证：O、H、E、M四点共圆．

Answer 1

证明：延长AQ交BC于N，如图，
∵AQ⊥BP，BD平分∠ABC，
∴△ABN为等腰三角形，
∴BQ平分AN，
∴AQ=NQ，
∵又M为AC中点，
∴QM∥BC，
∴∠PQM=∠PBC=

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∠ABC，
∵E点为BC的中点，M为AC的中点，
∴EM∥AB，
连结PE，
∵PC⊥BP，
∴∠BPC=90°，
∴PE为Rt△BPC斜边上的中线，
∴EB=EP=EC，
∴∠EBP=∠EPB，
而∠EBP=∠ABP，
∴∠ABP=∠EBP，
∴PE∥AB，
∴点P、M、E共线，
∴∠MPQ=∠PBC=

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∠ABC，
∴∠MPQ=∠MQP=∠PBC，
连结HE，BH，OH，OM，OP，如图，
∵∠PHM=∠PQM，
∴∠PHM=∠PBC，
∴P、H、B、C四点共圆，
∴∠BHC=∠BPC=90°，
∴EH为Rt△BHC斜边上的中线，
∴EH=EC=BE，
∴EH=EP，
∴∠EHP=∠EPH，
∵OH=OP，
∴∠OHP=∠OPH，
∴∠EHO=∠EPO，
∵∠OPM=∠OMP，
∴∠EHO=∠OMP，
O、H、E、M四点共圆．