Question

已知函数f(x)=x^2+lnx-ax(a>0), 求f(x)的单调区间

Answer 1

首先，保证真数大于0，有x>0 对f(x)求导得 f’(x)=2x+1/x-a=(2x-ax+1)/x 令f’(x)=0得(2x-ax+1)/x=0，即2x-ax+1=0，再令其判别式△=a-4=0得a=2 1、当0<a≤2时，△≤0，f’(x)恒大于等于0，原函数在(0，+∞)上单调递增。 2、当a>2时，△>0，令f’(x)≥0以求原函数的增区间，得(2x-ax+1)/x≥0，因为x>0，不等式两边同乘以x，不等式不变号得2x-ax+1≥0，解之得 0<x≤[a-√(a-4)]/4或x≥[a+√(a-4)]/4 同理，令f’(x)≤0以求原函数的减区间，得 [a-√(a-4)]/4≤x≤[a+√(a-4)]/4 综上所述， 当0<a≤2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增。 当a>2时，f(x)在0<x≤[a-√(a-4)]/4或x≥[a+√(a-4)]/4上单调递增；在[a-√(a-4)]/4≤x≤[a+√(a-4)]/4上单调递减。