Question

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线 过点O、A两

如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线 过点O、A两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1 是以BC为直径的圆．过原点O作O 1 的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O 1 相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y= x 2 +bx+c， 得 ， 解得 ； ∴该抛物线的解析式为y= x 2 ﹣ x； （2）点C在该抛物线上．理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E ∵点B在直线y=2x上， ∴B（5，10） ∵点A、C关于直线y=2x对称， ∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10 又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB= ∵S Rt△OAB = ∴AE=2 ， ∵AC=4 ； ∴∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠OBA； 又∵∠CDA=∠OAB=90°，∴△CDA∽△OAB ∴ = = ；CD=4，AD=8；C（﹣3，4） 当x=﹣3时，y= ×9﹣ ×（﹣3）=4； ∴点C在抛物线y= x 2 ﹣ x上； （3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O 1 相切； 过点P作PF⊥x轴于点F，连接O 1 P，过点O 1 作O 1 H⊥x轴于点H； ∴C（﹣3，4），B（5，10） ∵O 1 是BC的中点， ∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH= AD=4， ∴OH=OA﹣AH=1，同理可得O 1 H=7， ∴点O 1 的坐标为（1，7） ∴BC⊥OC，⊙OC为⊙O 1 的切线； 又∵OP为⊙O 1 的切线， |∴OC=OP=O 1 C=O1P=5 ∴四边形OPO1C为正方形， ∴∠POF=∠OCD 又∵∠PFO=∠ODC=90°， ∴△POF≌△OCD ∴OF=CD，PF=OD， ∴P（4，3） 直线O 1 P的解析式为y= x+ ； ∴点Q的横坐标为 或 ．