Question

己知f(x)=√1+x^2 求证:lf(a)-f(b)l<|a-bi

Answer 1

已知f(X)=√(1+X^2)，a≠b，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|

证明1：∵a≠b，∴a²+b²>2ab，∴1+a²+b²+a²b²>a²b²+2ab+1，即有(1+a²)(1+b²)>(ab+1)²
故有√[(1+a²)(1+b²)]>ab+1，从而有-√[(1+a²)(1+b²)]<-ab-1，
于是有1-√[(1+a²)(1+b²)]<-ab，两边同乘以2得：2-2√[(1+a²)(1+b²)]<-2ab，
即有1+a²+1+b²-2√[(1+a²)(1+b²)]<a²-2ab+b²
也就是有[√(1+a²)-√(1-b²)]²<(a-b)²
于是得︱√(1+a²)-√(1-b²)]︱<︱a-b︱
即︱f(a)-f(b)︱<︱a-b︱

证明2：|f(a)-f(b)|<|a-b|
<=>f(a)^2+f(b)^2-2f(a)f(b)<a^2+b^2-2ab
<=>1+a^2+1+b^2-2√[(1+a^2)(1+b^2)]<a^2+b^2-2ab
<=>1+ab<√[(1+a^2)(1+b^2)]
当1+ab<0时,上式成立.
当1+ab≥0时,上式等价于
1+a^2b^2+2ab<(1+a^2)(1+b^2)=1+a^2b^2+a^2+b^2
<=>2ab<a^2+b^2
<=>(a-b)^2>0
因为a≠b,所以上式恒成立.
所以|f(a)-f(b)|<|a-b|