Question

求齐次微分方程特解

（x²+2xy-y²）dx+（y²+2xy-x²）dy=0当x=1时y=1

Answer 1

∵（x^2＋2xy－y^2）dx＋（y^2＋2xy－x^2）dy＝0，
∴［（x/y）^2＋2（x/y）－1］dx＝［（x/y）^2－2（x/y）－1］dy。
令x/y＝u，则：x＝yu，∴dx＝udy＋ydu，
∴（u^2＋2u－1）（udy＋ydu）＝（u^2－2u－1）dy，
∴（u^2＋2u－1）ydu＝［（u^2－2u－1）－（u^2＋2u－1）u］dy，
∴（u^2＋2u－1）ydu＝（u^2－2u－1－u^3－2u^2＋u）dy，
∴（u^2＋2u－1）ydu＝（－u^3－u^2－u－1）dy，
∴［（1－2u－u^2）/（1＋u＋u^2＋u^3）］du＝（1/y）dy，
∴｛（1－2u－u^2）/［（1＋u）＋（1＋u）u^2］｝du＝（1/y）dy，
∴｛（1－2u－u^2）/［（1＋u）（1＋u^2）］｝du＝（1/y）dy，
∴｛［（1＋u^2）－2u（1＋u）］/［（1＋u）（1＋u^2）］｝du＝（1/y）dy，
∴［1/（1＋u）］du－［2u/（1＋u^2）］du＝（1/y）dy，
∴d（ln｜1＋u｜）－d（｜1＋u^2｜）＝d（lnx），
∴d［ln｜1＋u｜－ln（1＋u^2）］＝d（lnx），
∴ln｜1＋u｜－ln（1＋u^2）＝lnx＋C，
∴ln｜1＋x/y｜－ln［1＋（x/y）^2］＝lnx＋C。

∵当x＝1时，y＝1，∴ln｜1＋1｜－ln［1＋1］＝ln1＋C，∴C＝0。
∴原微分方程的特解是：ln｜1＋x/y｜－ln［1＋（x/y）^2］＝lnx，
即：｜1＋x/y｜/［1＋（x/y）^2］＝x。

Answer 2

两边同除x²dx，
方程化为(1+2y/x-y²/x²)+(y²/x²+2y/x-1)dy/dx=0★
设u=y/x，
则y=xu，
则dy/dx=u+xdu/dx，
代入★得到方程化为(1+2u-u²)+(u²+2u-1)(u+xdu/dx)☆
则☆是关于u和x的可分离变量的方程。
解☆然后代回原变量即可。