Question

求证:当x＞0时，(x∧2－1)lnx≥(x－1)∧2

Answer 1

设f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1) (x>0)
f'(x)=(1/x)-2/(x+1)²=(x²+1)/(x(x+1)²)

得x>0时,f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单增
又f(1)=0
得0<x<1时，f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1) <0
(x+1) ln(x)<(x-1)
(x-1)(x+1) ln(x)>(x-1)²
即有0<x<1时，(x²-1)ln(x)>(x-1)² (1)
x=1时，(x²-1)ln(x)=(x-1)² (2)
得x>1时，f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1)>0
(x+1) ln(x)>(x-1)
(x-1)(x+1) ln(x)>(x-1)²
即有x>1时，(x²-1)ln(x)>(x-1)² (3)
由(1)(2)(3) 得
x>0时，(x²-1)ln(x)>(x-1)²
所以 x>0时，(x²-1)ln(x)>(x-1)²

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