求证:当x>0时,(x∧2-1)lnx≥(x-1)∧2
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设f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1) (x>0)
f'(x)=(1/x)-2/(x+1)²=(x²+1)/(x(x+1)²)
得x>0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单增
又f(1)=0
得0<x<1时,f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1) <0
(x+1) ln(x)<(x-1)
(x-1)(x+1) ln(x)>(x-1)²
即有0<x<1时,(x²-1)ln(x)>(x-1)² (1)
x=1时,(x²-1)ln(x)=(x-1)² (2)
得x>1时,f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1)>0
(x+1) ln(x)>(x-1)
(x-1)(x+1) ln(x)>(x-1)²
即有x>1时,(x²-1)ln(x)>(x-1)² (3)
由(1)(2)(3) 得
x>0时,(x²-1)ln(x)>(x-1)²
所以 x>0时,(x²-1)ln(x)>(x-1)²
希望能帮到你!
f'(x)=(1/x)-2/(x+1)²=(x²+1)/(x(x+1)²)
得x>0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单增
又f(1)=0
得0<x<1时,f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1) <0
(x+1) ln(x)<(x-1)
(x-1)(x+1) ln(x)>(x-1)²
即有0<x<1时,(x²-1)ln(x)>(x-1)² (1)
x=1时,(x²-1)ln(x)=(x-1)² (2)
得x>1时,f(x)=ln(x)-(x-1)/(x+1)>0
(x+1) ln(x)>(x-1)
(x-1)(x+1) ln(x)>(x-1)²
即有x>1时,(x²-1)ln(x)>(x-1)² (3)
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x>0时,(x²-1)ln(x)>(x-1)²
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