Question

随机过程题目！！！跪求高手帮忙解答

设{W（t),t>=0}是参数为d的平方的（打不出来那个方差的符号，随便看一下）维纳过程 W(t)-aW(t-h) t>=o h>0是常数，求：
X(t)的意味概率密度分布函数
答案是 X（t)服从N(0,d平方（a平方（t-h)-2a(t-h)+t)） 为什么呢
这里面涉及到一个问题，正态分布的可加性是一定要两者独立呢，这道题显然不独立，那么如何判断这个是正态分布的，又怎么计算方差。
先谢啦。。会的写下过程啦。。。。

Answer 1

维纳过程是独立增量过程。知道了这一点，以下是计算问题。
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{W(t), t≥0}, σ²t, 是一个维纳过程. X(t)=W(t)-aW(t-h), t≥0, h>0 是常数. 求：X(t)的一维概率密度分布函数。

答： X(t): N(0,σ²(a²(t-h)-2a(t-h)+t)

证明: E{X(t)}=0 很显然。免述。
DX(t) = E{[W(t)-aW(t-h)]²} = E{W²(t)-2aW(t)W(t-h)+a²W²(t-h)]}
= E{W²(t)}-2aE{W(t)W(t-h)}+a²E{W²(t-h)}
= σ²t-2aE{W(t)W(t-h)}+a²σ²(t-h)
= σ²t-2aE{[W(t)-W(t-h)+W(t-h)]W(t-h)}+a²σ²(t-h)
= σ²t-2aE{[W(t)-W(t-h)]W(t-h)}+ E{W(t-h)W(t-h)}+a²σ²(t-h)
= σ²t-2a(0+E{W²(t-h)})+a²σ²(t-h)
= σ²t-2aσ²(t-h)+a²σ²(t-h)
= σ²[a²(t-h)-2a(t-h)+t]

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"正态分布的可加性是一定要两者独立呢"

----- 不要。所以X(t)是正态分布的. 见：
http://baike.baidu.com/view/652663.html?wtp=tt
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难得见到的好题！！！