Question

证明：三角形的三条角平分线交于一点

急！！！

Answer 1

已知：三角形ABC ，AD ,BE ,CF是角平分线
求证：三角形的三条角平分线交于一点
证明：设角平分线AD ,BE交于点P,连接CP交于点AB于F' ，过点P作PG垂直AB于G ,PM垂直BC于M ,PN垂直AC于N
所以角BAD=角CAD
角ABE=角CBE
角AGP=角BGP=90度
角BMP=角CMP=90度
角ANP=角CNP=90度
所以角AGP=角ANP=90度
角BGP=角BMP=90度
三角形CMP和三角形CNP是直角三角形
因为AP=BP
所以三角形APG全等三角形APN (SAS)
所以PG=PN
同理可证：PG=PM
所以PM=PN
因为PC=PC
所以直角三角形CMP全等三角形CNP (HL)
所以角ACF'=角BCF'
所以CF'是角ACB的角平分线
因为CF是角ACB的角平分线
所以点F和点F'重和
所以AD ,BE ,CF交于点P
所以三角形的三条角平分线交于一点

Answer 2

设其中的任意两个角(A和B)的角平分线交于O点,
则,根据OA为角A的角平分线,所以O点距离三角形的AB和AC两条边的距离相等;
同理,根据OB为角B的角平分线,所以O点距离三角形的BA和BC两条边的距离相等;
连接CO,则因为O点距离三角形的CA和CB的两条边距离相等,所以CO就是角C的角平分线.
证明完毕.