Question

已知函数fx= lnx gx=1/2ax∧2+2x（a不为0）hx=fx-gx在（1，4）上单调递减，求a的

已知函数fx= lnx gx=1/2ax∧2+2x（a不为0）hx=fx-gx在（1，4）上单调递减，求a的范围

Answer 1

• h(x)=f(x)-g(x)=lnx-½ax²-2x 定义域x>0

  h'(x)=1/x-ax-2=-(ax²+2x-1)/x

  当Δ=4+4a≤0→a≤-1时，h'(x)≥0，h(x)全定义域为增函数；

  -1<a<0时

  驻点x₁=[√(1+a)-1]/a<1 是极大值点

  驻点x₂=[-√(1+a)-1]/a>1 是极小值点

  ∴当[-√(1+a)-1]/a<4→a>-7/16

  a∈(-7/16,0) h(x)在指定区间单调递减

  a>0时

  驻点x₀=[√(1+a)-1]/a→0<x₀<1 驻点为极大值点

  ∴x∈(x₀,+∞) h(x)单调递减

  由于0<x₀<1，故恒成立

• ∴a∈(-7/16,0)∪(0,+∞)