设函数f(x)=ax²㏑x+b(x-1)
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①f(x)=e^(-x)•(x²+ax+1)
f'(x)=-e^(-x)•(x²+ax+1)+e^(-x)•(2x+a)
=-e^(-x)•[x²+(a-2)x+1-a]
=-e^(-x)•(x-1)(x-1+a)
(ⅰ)当a=0时,f'(x)=-e^(-x)•(x-1)²≤0,f(x)为R上的减函数;
(ⅱ)当a>0时,令f'(x)>0,即 (x-1)(x-1+a)<0,解得 1-a<x<1,函数f(x)在[1-a,1]上是增函数,同理,f(x)在(-∞,1-a]和[1,+∞)上是减函数;
(ⅲ)当a<0时,令f'(x)>0,即 (x-1)(x-1+a)<0,解得 1<x<1-a,函数f(x)在[1,1-a]上是增函数,同理,f(x)在(-∞,1]和[1-a,+∞)上是减函数。
②-1<a<0时,f(x)在[-2,1]上是减函数,最小值为f(1)=e^(-1)•(a+2)=(a+2)/e
f'(x)=-e^(-x)•(x²+ax+1)+e^(-x)•(2x+a)
=-e^(-x)•[x²+(a-2)x+1-a]
=-e^(-x)•(x-1)(x-1+a)
(ⅰ)当a=0时,f'(x)=-e^(-x)•(x-1)²≤0,f(x)为R上的减函数;
(ⅱ)当a>0时,令f'(x)>0,即 (x-1)(x-1+a)<0,解得 1-a<x<1,函数f(x)在[1-a,1]上是增函数,同理,f(x)在(-∞,1-a]和[1,+∞)上是减函数;
(ⅲ)当a<0时,令f'(x)>0,即 (x-1)(x-1+a)<0,解得 1<x<1-a,函数f(x)在[1,1-a]上是增函数,同理,f(x)在(-∞,1]和[1-a,+∞)上是减函数。
②-1<a<0时,f(x)在[-2,1]上是减函数,最小值为f(1)=e^(-1)•(a+2)=(a+2)/e
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