Question

图中这个反常二重积分怎么计算？

图中这个反常二重积分怎么计算？要计算过程，谢谢🙏

Answer 1

解：分享一种解法，利用“欧拉公式【e^(ix)=cosx+isinx】”和“标准状态分布N(0,1)的密度函数的性质”求解。
①设I1=∫(-∞,∞)dy∫(-∞,∞)e^(-x²-y²)cos(x²+y²)dx，I2=∫(-∞,∞)dy∫(-∞,∞)e^(-x²-y²)sin(x²+y²)dx。∴I=I1+iI2=∫(-∞,∞)e^(-y²+iy²)dy∫(-∞,∞)e^(-x²+ix²)dx。
②由标准状态分布密度函数的性质，有[1/√(2π)]∫(-∞,∞)e^(-x²/2)dx=1，∴∫(-∞,∞)e^(-x²/2)dx=√(2π)。∴∫(-∞,∞)e^(-αx²)dx=√(π/α)。
而，∫(-∞,∞)e^(-y²+iy²)dy=∫(-∞,∞)e^[(-(1-i)y²]dy=√[π/(1-i)]，同理，∫(-∞,∞)e^(-x²+ix²)dy=√[π/(1-i)]。
∴I=π/(1-i)=π(1+i)/2。∴原式=I1=π/2。
供参考。