Question

书上是说可积必然在闭区间连续，那么如果存在可去间断点并且在该点无定义，那么何来的有界呢？这不是矛盾

书上是说可积必然在闭区间连续，那么如果存在可去间断点并且在该点无定义，那么何来的有界呢？这不是矛盾我知道第一类间断点德还是可积回答为什么矛盾就行了，谢谢

Answer 1

书上应该说的是：在闭区间连续必然可积。
可积不一定在闭区间连续，也可以只在闭区间内有界单调。
这也就是说，一个函数即使在一个区间有无数个间断点，也是有可能可积的。

追问

我说的是有界

不是连续

写错了

追答

哦哦，是这样啊，但是有界也不一定就可积啊

你们有没有学 函数的可积性？（单独的一个小节）

可去间断点，说明在这个点一定有左极限和右极限，所以在这个点附近的函数值一定有界。而剩余的区间也是有界的，这样这个函数就是有界的。

追问

比如，我有一个函数求定积分，积分区间中有个没有定义的第一类间断点，那么还可以积分吗

我知道可以积分

但是可以积分可以推出这个函数在积分区间有界

但是有界的区间都是属于定义域

而这个点并不是定义域内的点，你能明白我搞不懂的意思吗

追答

嗯…一个函数有界确实是指在定义域内。
然后…积分的定义，要求在这个区间内的每一个点要有定义…所以如果没有定义，那是不能说区间上可积的，自然不能推断出它有界了。

追问

问题就来了有些定积分存在第一类间断，无定义，但他就是可积的

追答

你可以举一个例子么？

( 顺便让我再仔细想想… )

追问

负一到1 Sin x除x

追答

这个…只要你在x＝0处定义一个值（不论这个值是多少），那么它的确可积。（其实说它在某个区间可积，应该默认了它在区间上都有定义）

你看，书上对x＝0处下了定义。

只要你给第一类间断点处一个值（即下了定义了），那么在闭区间上函数就可积了。

Answer 2

可积有3大充分条件(都是针对某一个闭区间)，一连续，二单调，这里详细说一下三，三是有界且有有限个间断点，有界意味着不可能是无定义的第一类间断点和第二类的无穷间断点。