Question

如图，已知：△ABC中，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，且∠A=2∠BCD，S△ABC=20，则CD的长为__________？

最好不用勾股定理

Answer 1

解：∵AC=BC=AD ∴∠A=∠B，∠ACD=∠ADC ∴设∠BCD=x ∵∠A=2∠BCD
∴∠A=2x ∵∠CDA=∠DCB+∠B
∴(180°－2x)÷2=x+2x，x=22.5°
∴∠A=∠B=45°，∠ACB=90°
∵S△ABC=20 ∴AC=BC=2√10，AB=4√5
作CE⊥AB于点E
∴AE=CE=2√5 ∴AD=2√10-2√5
∴根据勾股定理，有CD=2(√10)(2－2√2)

Answer 2

△ABC中，AC=BC，
设∠A=∠B=a,则∠ACB=180°-2a,
AD=AC，
所以∠ACD=(180°-a)/2,
∠A=2∠BCD，
所以a=2[180°-2a-(180°-a)/2]=180°-3a,
4a=180°，a=45°，∠ACB=90°，
所以S△ABC=(1/2)AC*BC=20，
所以AC=2√10，
CD=2ACsin(a/2)=4√10*√[(1-1/√2)/2]=2√(20-10√2),
这里用到半角公式，可以吗？

Answer 3

这题CD写起来很复杂,因为它的平方等於80-40√2,然而这个数字开平方之後化不成√a+√b这种形式