Question

不具有互不相同的特征值能推出不能进行相似对角化吗？

有一个定理：有互不相同的特征值一定能进行相似对角化。想知道这个定理反过来能不能成立。如果不能成立的话，有没有什么其他的条件能使它成立？

Answer 1

对于n阶矩阵，能否对角化，充要条件是能否找到n个线性无关的特征向量。
如果这个矩阵的所有特征均不相同，那么它一定能找到n个不相关的特征向量。
但是存在某多重特征值，也可以找到的情况。
例如矩阵存在某个2重特征值，这个特征值可能会对应2个无关特征向量（这个不是一定的，如果找不到就不可对角化）。这个矩阵仍能对角化。