Question

高中数学圆锥曲线问题！

抛物线C：y²=4x的焦点为F，且斜率为1的直线与抛物线C交于两点A，B，若在以AB为直径的圆上存在两点M，N，在l：x+y+a=0上存在一点Q，使得角MQN=90°，则a的范围是？

Answer 1

第一步：求直线L与圆的位置关系
（1）当L与圆相交时，存在无数组M、N、Q使得∠MQN=90°
（2）当L与圆相切时，只要MN过圆心，∠MQN=90°，也存在无数组
（3）当L月圆相离时，假设存在∠MQN=90°，当MN平行于L时，距离最远，我们就按这种情况求直线与圆的距离d的最大值。则d=r+√(R²-r²)，R为AB为直径的圆的半径，r为以MN为直径的圆的半径
根据均值不等式(a+b)/2≤√(a²+b²)/2 有 d=r+√(R²-r²)≤2√[(R²-r²)+r²]/2=√2 R
即要求直线到AB直径为圆的圆心距离不大于√2 R，即丨AB丨/√2
第二步，要保证直线AB与抛物线C相交，即求斜率为1与C相切是方程
切线方程为y=x+1 （思路简单省略过程）
则直线AB的方程为y=x+p (p<1)
第三步，求以AB为直径的圆的直径和圆心
把y=x+p代入y²=4x得 x²+(2p-4)x+p²=0
设A的坐标为(x1,y1)，B的坐标为(x2,y2)
则x1，x2分别为一元二次方程x²+(2p-4)x+p²=0的根
丨AB丨=丨x1-x2丨*√2
设AB为直径的圆的圆心为O，则O的坐标为（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）
x1,x2代入直线y=x+p得y1+y2=x1+x2+2p
即O的坐标为（(x1+x2)/2，(x1+x2+2p)/2）
根据一元二次方程根的公式有
x1+x2=4-2p，x1x2=p²
丨AB丨=丨x1-x2丨*√2=√2(x1-x2)²=√2[(x1+x2)²-4x1x2]=√(32-32p)
O的坐标为(2-p，2)
第五步：求直线L的极限位置方程
要保证直线L：x+y+a=0满足条件，即要求d≤丨AB丨/√2 （第一步已证明）
极限位置d=丨AB丨/√2有2种，一种直线L在圆O下方，一种直线L在圆O上方
(1)当直线L在圆O下方时，设O的坐标为（x0，y0），Q的坐标为（x0-d/√2，y0-d/√2）
直线L的方程为[y-(y0-d/√2)]+[x-(x0-d/√2)]=0
化简得x+y-(x0+y0)+√2 d=0
(2)当直线L在圆O上方时，设O的坐标为（x0，y0），Q的坐标为（x0+d/√2，y0+d/√2）
直线L的方程为[y-(y0+d/√2)]+[x-(x0+d/√2)]=0
化简得x+y-(x0+y0)-√2 d=0
第六步：求a的取值范围
则有-(x0+y0)-√2 d≤a≤-(x0+y0)+√2 d
-(x0+y0)-√2 d=p-4-√(32-32p)
-(x0+y0)+√2 d=p-4+√(32-32p)
求p-4-√(32-32p)最小值和p-4+√(32-32p)的最大值
因为p<1，p-4-√(32-32p)<-3没有最小值
设函数f(x)=x-4+√(32-32x)，f'(x)=1-16/√(32-32x)
令f'(x)=0，x=-7
当x<-7时，f'(x)>0；当-7<x<1时，f'(x)<0
即f(x)=x-4+√(32-32x)在x=-7时存在最大值
max f(x) =-7-4+16=5
故a≤5

Answer 2

这个应该是要引入向量了