Question

已知数列｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，a1=b1=2，a7-a3=12，b1+b2=a3

Answer 1

解：
(1)由于an是
等差数列
，根据a7-a3=12,可知，等差数列的公差为3.
那么an的
通项公式
an=2+3(n-1)=3n-1;
根据b1+b2=a3,a3=8，b1=2，可知：b2=6，于是
等比数列
的公比为3.
那么bn的通项公式为bn=2*3^(n-1).
(2)cn=anbn=2(3n-1)3^(n-1)
an是等差数列，bn是等比数列，两者相乘求和即等差等比复合求和的类型，因此必须用到
错位相减法

对于
3^(n-1)，其前n项和为
Bn
=
1
+
3
+
3^2
+
……
+
3^(n-1)
=
(3^n
-1)/2
对于
n*3^(n-1)
,
其前n项和为
An
=
1
+
2*3
+
3*3^2
+
4*3^3
+
……
(n-1)*3^(n-2)
+
n*3^(n-1)
3An
=
3
+
2*3^2
+
3*3^3
+
4*3^4
+
……
+
(n-1)*3^(n-1)
+
n*3^n
两式相减
An
-
3An
=
1
+
(2*3
-3)
+
(3*3^2
-
2*3^2)
+
……
+
[n*3^(n-1)
-
(n-1)*3^(n-1)]
-
n*3^n
-2An
=
1
+
3
+
3^2
+
3^3
+
……
+
3^(n-1)
-
n*3n
2An
=
n*3^n
-
[(3^n
-
1)/2]
所以原数列之和
Sn
=
2An
-
Bn
=
n*3^n
-
(3^n
-1)/2
-
(3^n
-1)/2
=
n*3^n
-
2(3^n
-1)/2
=
(n
-
2/3)*3^n
+
2/2
=
(n
-
2/3)*3^n
+
1