Question

求极限 lim (1+1/n)^(n^2)/(e^n) n->无穷

Answer 1

题目应该是lim
n(e^2
–(1+1/n)/2^n
（n->无穷大）吧？
否则就是无穷大了
改了之后
lim
n(e^2
–(1+1/n)/2^n
=lim
(e^2
–(1+1/n)
*
lim
n/2^n
=e^2
*
lim
n/2^n
因为y=x
与
y=2^x
这两个函数都连续可导
且都趋向于正无穷
所以求
lim
n/2^n
的时候
可以将分子分母同时求导
lim
n/2^n
=lim
n'/(2^n)'
=lim
1/n*2^(n-1)
=0
所以lim
n(e^2
–(1+1/n))2^n
=0
做完之后觉得有点怪
因为这种题答案通常都不是零
我是高三学生
不知道这样做对不对
求导的那个方法是我有一次听老师提过的
求采纳为满意回答。

Answer 2

lim(n->∞)
n[e-(1+1/n)^n]
=lim(n->∞)
n{
e-e^[nln(1+1/n)]}
=lim(n->∞)
-e*n{
e^[nln(1+1/n)
-
1]
-
1
}
∵(n->∞)
t
=
[nln(1+1/n)
-
1]
->
0
,
e^t
-1
~
t
=lim(n->∞)
-e*
n
[nln(1+1/n)
-
1]
∵
ln(1+1/n)
=
1/n
-
1/2n^2
+
o(1/n^2)
,
注：此处极限也可用罗必塔法则
=lim(n->∞)
-e*
[
n
-
1/2
+
o(1)
-
n
]
=
e/2