Question

一道高等数学选择题

各位大侠，（x+y)2和（x+y）3在同一个区间D上的二重积分那个大？如果不好编辑答案，可以说一下思路。谢谢啊！ 不好意思，忘了写积分区间了 D：（x-2）^2+(y-1）^2 <=1 .还有能不能一眼看出答案啊

Answer 1

与积分区域有关
不同的积分区域
是不一样的
比如积分区域为
x^2+y^2=a^2
此时（x+y）^3的二重积分是恒等于0的
如果积分区域为
x属于[0,1/2]
y属于[0,1/2]
（x+y）^2
二重积分大于（x+y）^3
如果积分区域为
x属于[1,2]
y属于[1,2]
（x+y）^2
二重积分小于（x+y）^3
一眼可以看出来
因为D：（x-2）^2+(y-1）^2
<=1
所以积分区域是在xOy面上
以(2,1)为圆心
半径小于1的圆
此圆内
x+y恒大于等于1
所以(x+y)^3恒大于(x+y)^2
所以(x+y)^3二重积分恒大于(x+y)^2
当然正规的方法是
求∫∫(x+y)^3
dxdy
-∫∫(x+y)^2
dxdy
看其大于0还是小于0
即∫∫[(x+y)^3-(x+y)^2]
dxdy
因为知道积分区域
D：（x-2）^2+(y-1）^2
=a^2
(a^2<=1)
即
x属于[2-|a|,2+|a|]
y属于[1-根号下(a^2-（x-2）^2),1+根号下(a^2-（x-2）^2)]
可以积分出
具体表达式
到时候在a^2<=1的前提下判断
表达式
大于还是小于0即可