Question

如图，在△ABC外一点E，使∠ACE=20°，求证：

Answer 1

在△ABC外取一点E，使∠ACE=20°，连接ED，使∠EDC=60°，连接AE。CE延长线至点F。
∠ECD=∠ACE+∠ACD=60°，而∠EDC=60°，∴△EDC为等边三角形，则∠DEC=60°。
而∠DAC=60°，△DAC与△CED有同一底边CD，且∠DEC=∠DAC=60°，对应角相等，∴A、E、C、D四点共圆。则∠AEF=∠ADC=180°-60°-40°=80°。
在CE延长线上取点F，使得FE=FA，即△FAE为等腰三角形，FA=FE，∠AEF=80°，∴∠FAE=80°，∠AFE=20°。
在△ACF中，∠ACE=20°，∠AFE=20°，∴△ACF为等腰三角形，AC=AF，而FA=EF，∴AC=AF=EF。
根据题意BD=AC，则BD=EF，又∵△EDC为等边三角形，CE=CD，则在△FBC中，CE/CF=CD/CB，△EDC∽△FBC，则△FBC为等边三角形，∠FBC=60°。
又∵AF=AC，易可证BA为∠FBC的角分线，∴∠ABC=30°。