Question

关于一个经典高中数学问题

命题“a+b≥2根号（ab) （a,b∈R）”与命题“a+b≥2根号（ab) （a<0且b<0）且a+b≥2根号（ab) （a≥0或b≥0）”是否是等价命题？
前提是这个命题是假命题

Answer 1

不等价，前者成立的条件是均值不等式的条件，即“a+b≥2根号（ab) （a,b∈R）”其实a,b必须均为正，解集为全体正实数，而后者“a+b≥2根号（ab) （a<0且b<0）且a+b≥2根号（ab) （a≥0或b≥0）”是“且”的关系，a+b≥2根号（ab) （a<0且b<0）解集为空集，a+b≥2根号（ab) （a≥0或b≥0）解集为全体正实数，两者交集为空集，所以两命题不等价，“a+b≥2根号（ab) （a,b∈R）”的等价命题为“a+b≥2根号（ab) （a<0且b<0）或a+b≥2根号（ab) （a≥0或b≥0）”。

Answer 2

不等价，前者成立的条件是均值不等式的条件，即“a+b≥2根号（ab) （a,b∈R）”其实a,b必须均为正，解集为全体正实数，而后者“a+b≥2根号（ab) （a<0且b<0）且a+b≥2根号（ab) （a≥0或b≥0）”是“且”的关系，a+b≥2根号（ab) （a<0且b<0）解集为空集，a+b≥2根号（ab) （a≥0或b≥0）解集为全体正实数，两者交集为空集，所以两命题不等价