Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2右顶点为A，P为椭圆上任意一点，已知向量PF1*PF2的最大值为3，最小值为2
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线L Y=KX+m与椭圆相交于M,N两点（M,N不是左右顶点）且以MN为顶点的圆过点A求证直线过定点并求出该定点坐标

Answer 1

第二问暂时没想出来，就先告诉你第一问吧

解：（1)根据余弦定理有Cos(PF1,PF2)=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2*PFI*PF2) 则向量PFI・PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/2 又根据椭圆的焦半径公式有PFI^2+PF2^2=2a^2+2c^2*x0^2/a^2 代入则有向量PFI・PF2=a^2+c^2*x0^2/a^2-2c^2,则取最大值时x0最大，此时x0=a,代入有a^2-c^2=3,取最小值时x0最小，此时x0=0，代入有a^2-2c^2=2 解得a=2 c=1 b=根号3，椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1