Question

大一高数 数列极限题一道 请教高手

若数列Un的极限是a，证明数列|Un|的极限是|a|，并举例说明，数列|Un|收敛时，数列Un未必收敛。

Answer 1

证明：∵limUn=a
∴对任意§＞0，存在N。＞0，当n＞N。时，|Un-a|＜§
∴对上述§＞0，存在N=N。，当n＞N时，||Un|-|a||≤|Un-a|＜§
∴lim|Un|=|a|
举例：如Xn=（-1）^n(n-1)/(n+1) 则|Xn|=(n-1)/(n+1)
∴lim|Un|=1,而数列limUn不存在

Answer 2

对于任意小的正数ε，由Un的极限是a，则存在正整数N，n＞N时，|Un-a|＜ε. 因为||Un|-|a||≤|Un-a|，所以n＞N时，||Un|-|a||＜ε.
所以，|UN|的极限是|a|.

反之结论不成立，例如设Un是数列1,-1,1,-1,1,-1,...。|Un|＝1，收敛，而Un发散

Answer 3

我简单写一下
数列Un的极限是a，故|Un-a|<e
而||Un|-|a||<=|Un-a|<e
故数列|Un|的极限是|a|

反例Un=(-1)^n