Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为f1(-c,0),f2(c,0),若椭圆上存在一点P使a/sinPF1F2=c/sinPF2F1

求e的范围

Answer 1

a/sinPF1F2=c/sinPF2F1
c/a=sinPF2F1/sinPF1F2
而由正弦定理知：sinPF2F1/sinPF1F2=|PF2|/|PF1|
所以，e=c/a=|PF2|/|PF1|
|PF1|+|PF2|=2a
所以，(e+1)|PF1|=2a
|PF1|=2a/(e+1)
|PF2|=e|PF1|=2ae/(e+1)
而：||PF1|-|PF2||≤|F1F2|=2c
所以。2a(1-e)/(e+1)≤2c
(1-e)/(1+e)≤e
e^2+2e-1≥0,e>0
所以，e≥√2-1

椭圆离心率的范围是:[√2-1,1)