Question

设二次函数f(x)=x2+x,当x∈[n,n+1](n∈N＊)时，f(x)的所有整数值的个数是g(n)求g(n)表达式

Answer 1

楼主我想问一下，n∈N＊是指n为整数吗？反正我是按照n取整数解的

二次函数f(x)=x^+x的对称轴为x=-1/2，其顶点为(-1/2,-1/4)
可判断出f(x)的单调性为：
当x∈(-∞,-1/2)时，f(x)是减函数；
当x∈(1/2,+∞)时，f(x)是增函数

可求出
f(n)=n^+n
f(n+1)=(n+1)^+n+1=n^+3n+2
由于n为整数，故，f(n)与f(n+1)也必为整数

当n∈(-∞,-2]时，n+1≤-1，由f(x)的单调性可以判断出，区间[n,n+1]位于抛物线的递减区域，即(-∞,-1/2）内，故f(x)在x=n处取得最大值f(n)，在x=n+1处取得最小值f(n+1)，由f(x)连续性可知其在[n,n+1]区间上的值域是[f(n+1),f(n)]，这意味着f(x)可以取到f(n+1)到f(n)之间的任意一个值（当然也包含这个范围内的任何一个整数值）；因此，f(x)所能取到的整数值个数就等于[f(n+1),f(n)]这个范围内所包含的整数个数；由于f(n)与f(n+1)都是整数，这个闭区间内所包含的整数个数为[f(n)-f(n+1)+1]，代入f(n)=n^+n,
f(n+1)=n^+3n+2，可得到这个数量为-2n-1
所以，此种情况下，f(x)在[n,n+1]上所能取到的整数值个数g(n)=-2n-1
于是有：n∈(-∞,-2]时，g(n)=-2n-1 这个g(n)的分段表达式成立；

当n∈[0,+∞)时，n≥0，由f(x)单调性可以判断出，区间[n,n+1]必然位于抛物线的递增区域，即（-1/2，+∞），f(x)的最大值在x=n+1处取得，为f(n+1)，最小值在x=n处取得，为f(n)，从而，f(x)的值域是[f(n),f(n+1)]，f(x)在区间[n,n+1]上可以取到这个值域内的所有值；于是，这个值域内的整数个数g(n)，可以求出是[f(n+1)-f(n)+1]（因为f(n)与f(n+1)都是整数值）=2n+3
于是可得出函数g(n)在自变量n∈[-1,+∞）时的解析式为：
g(n)=2n+3

最后只剩下一个n=-1的情况没有包含在上述两种情况中：
当n=-1时，显然此时的[n,n+1]区间就是[-1,0]区间，f(x)的对称轴x=-1/2恰好位于其内，f(x)在[-1,0]上的最小值显然是顶点值-1/4，而在f(-1)=f(0)=0处，同时取得最大值，也就是说，f(x)此时在[n,n+1]上的值域为[-1/4,0]，此时f(x)的值域内只包含0这个整数点，于是，此时f(x)的整数值个数g(n)为1

综上所述，可知，当n∈整数时，g(n)的解析式为：
g(n)=/ -2n-1 , n∈(-∞,-2];
| 1 , n=-1 ;
\ 2n+3 , n∈[0,+∞)

Answer 2

g(n)=2n+3