Question

点A、B是圆O上两点，AB=10，点P是圆O上的动点

1.点A、B是圆O上两点，AB=10，点P是圆O上的动点（P与A、B不重合），链接AP、PB，过点O分别作OE垂直AP于E，OF垂直PB于F，则EF=?
要有过程，便于理解

Answer 1

由圆的定理“过圆心且垂直于弦的线段必平分该弦”，可以得出E为AD中点，F为BD中点（因为OE与OF都是过圆心的，且它们垂直于弦AD与BD），那么EF就一定是△ABD中，边AB所对的中位线，于是可知：EF=AB/2=10/2=5
当然，也可证△AEF相似于△ABC得出该结论，具体为：
这两个三角形中，两条对应边DE/AD=DF/BD=1/2，其夹角为公共角∠ADB，所以两三角形相似，从而得出EF/AB=1/2，EF=5的结论

Answer 2

由圆的定理“过圆心且垂直于弦的线段必平分该弦”，可以得出E为AD中点，F为BD中点（因为OE与OF都是过圆心的，且它们垂直于弦AD与BD），那么EF就一定是△ABD中，边AB所对的中位线，于是可知：EF=AB/2=10/2=5
当然，也可证△AEF相似于△ABC得出该结论，具体为：
这两个三角形中，两条对应边DE/AD=DF/BD=1/2，其夹角为公共角∠ADB，所以两三角形相似，从而得出EF/AB=1/2，EF=5的结论