Question

已知,在Rt三角形中,AB=BC,角ABC=90度,BO垂直AC于点O,点PD分别在AO和BC上,

PB=PD,DE垂直AC,PB平分角ABO.求证AP=CD

Answer 1

：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∠3＝∠4

又∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中

∠A＝∠C
∠ABP＝∠4
PB＝PD

∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．

追问

若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P＇时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到D＇,(1)探究ED＇,OB,OE之间的关系。 （2） D＇E与AP＇之间的数量关系