Question

如图，三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行BC，设MN交角BCA的平分线

如图，三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行BC，设MN交角BCA的平分线于E，交角BCA的外角平分线于点F。
1、求证：EO=FO
2、当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
请写出详细过程

Answer 1

如下：

1、证明

∵MN//BC

∴∠OEC=∠BCE

∴∠OFC=∠FCG

∵∠BCE=∠OCE(OE是∠BCA的内角平分线)

∴∠OEC=∠OCE

∴OE=OC

∵∠OCF=∠FCG(OF是∠BCA的外角平分线)

∴∠OCF=∠OFC

∴OF=OC

∴OE=OF。

2、当o点在ac中点时，四边形aecf为矩形。

由1得oe=of且oc=oa(o为ac中点），

所以四边形aecf为平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）。

又因为角bca+角ack=180度（k为bc延长线上一点），

角bce=角eca且角bce+角eca=角bca，

角acf=角fck且角acf+角fck=角ack，

所以角ecf=角eca+角acf=1/2bck=90度。

所以四边形acef为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

矩形的常见判定方法如下：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。

（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

Answer 2

1、解：因为 mn//bc
所以 角bce=角fec
又因为 角 bce=角eco(ce为角bca的角平分线）
所以 在三角形oec中角oec=角oce 则oce为等腰三角形
即oe=oc
同理可证of=oc
则有oe=oc=of
即oe=of
2、解：当o点在ac中点时，四边形aecf为矩形
由1得oe=of
且oc=oa(o为ac中点）
所以 四边形aecf为平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）
又因为 角bca+角ack=180度（k为bc延长线上一点）
角bce=角eca 且 角bce+角eca=角bca
角acf=角fck 且 角acf+角fck=角ack
所以 角ecf=角eca+角acf=1/2bck=90度
所以 四边形acef为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）