Question

已知函数f(x)=㏒以a为底(ax-根号x)(a>0,a≠1为常数)，

已知函数f(x)=㏒以a为底(ax-根号x)(a>0,a≠1为常数)，若函数y=a的f（x）次方的图像在直线y=-2x+1的上方，求实数a的范围。

Answer 1

f(x)=loga(ax-vx)
y=a^(f(x)=ax-vx>-2x+1（1）
要使f(x)有定义ax-vx>0
即x>1/a^2 所以f(x)的定义域为（1/a^2,+无穷）
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令vx=t x=t^2 (t>1/a)
代入（1）
at^2-t+2t^2-1>0
即(a+2)t^2-t-1>0 (2)
因为判别式 1+4（a+2)>0
对称轴1/2（a+2)>0
要使（2）t 在（1/a,+无穷）恒大于0
只需：1/[2(a+2)]<=1/a
f(1/a)=(a+2)/a^2-1/a-1>=0
解得 0<a<=v2 且a不等于1

Answer 2

首先要知道a的f（x）次方就是ax-根号x

而要是y=ax-根号x的图象在直线y=-2x+1的上方

等同于是说y=ax-根号x恒大于y=-2x+1
（对于同一个x来说）

然后可以注意到根号x的定义域为
[0，+∞）同时ax-根号x要大于零·

得a根号x-1>0
即x>1/(a^2)
所以就是要满足

ax-根号x-（-2x+1）恒大于零
即（a+2）x-根号x-1>0
对式（a+2）x-根号x-1求导得
a+2-1/(2根号x)

而根号x>1/a 2根号x>2/a 0<1/(2根号x)<a/2 -a/2 <-1/(2根号x) < 0
所以 0< 2+a/2 < a+2-1/(2根号x) < a+2
所以到函数恒大于零
则函数ax-根号x-（-2x+1）为在定义域内为恒增函数
则只要保证当 x= 1/(a^2) 时
函数ax-根号x-（-2x+1）≥ 0即可

代入后可得a^2≦2

即可得最后实数a 的范围为
0 < a ≦根号2且 a不等于1