Question

已知函数f(x)=x+a/x,其中a>0,求函数f(x)在区间【1,2】的最小值

Answer 1

f(x)=x+a/x ,x∈[1,2]
f'(x)=1-a/x²=(x²-a)/x²
=(x+√a)(x-√a)/x²
当0<a≤1时，0<√a≤1 ,
(x+√a)(x-√a)/x²≥0即f'(x)≥0
f(x)在[1,2]上递增，
f(x)min=f(1)=1+a

当1<a<4时，1<√a<2,
x∈[1,√a),f'(x)<0,f(x)递减
x∈(√a,2]时，f'(x)>0,f(x)递增，
f(x)min=f(√a)=2√a

当a≥4时，√a≥2
f'(x)≤0恒成立，f(x)递减，
f(x)min=f(2)=2+a/2

追问

为什么当0<a≤1时，0<√a≤1 可以知道(x+√a)(x-√a)/x²≥0即f'(x)≥0

追答

00
x²>0

另外
分子的符号即是f'(x)的符号
分子(x+√a)(x-√a)为抛物线，开口朝上，草稿纸上画图，一看便知。