Question

数学集合问题

设集合A={X|X²-3X+2=0} B={X|X²+2(a+1)X+(a²-5)=0}
1.若A∪B=A,求实数a的取值范围
2.若U=R，A∩(CuB)=A，求实数a的取值范围

希望有详细过程

Answer 1

1.显然B是A的一个子集。A中含有元素1和2。那么A有4个子集。1.1空集，1.2单元集{1}，1.3单元集{2}，1.4双元集{1,2}。这四种情况也就对应着集合B的四种情况。你必须要对四种情况进行完整的分类讨论才能得全分。那么下面我们来讨论B的四种情况。对于1.1B为空集。显然B中的元素是由一个一元二次方程的根构成。对于B是空集这种情况，也就是对应的一元二次方程的解集为空集。也就是二次方程无实根。古判别式小于0；这样可以得到a的范围是a＜－3，对于第二种情况，此时要注意啦。B为单元集，也就意味着二次方程有两个相等实根。因此我们把第二，第三种情况放在一起讨论。因为他们都是方程有相等实根条件下的解集。此时，一定有一个大前提那就是，判别式的值为0，我们得到。a＝－3.注意，不要高兴得太早。我们还应该把a＝－3代入二次方程，检验其根是否满足B的1.2或1.3.将a＝－3代入二次方程得到二次方程的两相等实根为2，此时B＝｛2｝，满足第三种情况。最后，我们来看第四种情况（1.4）也就是方程有两个不等实根，分别为1和2这种情况。此时，我们不在用判别式来解决问题了，因为我们知道了方程的两根，因此用跟与系数的关系（即韦达定理）来解题。有：两根之和1＋2＝－｛2（a＋1）｝且两根之积1×2＝a²-5．这样得到a无解。综合以上四种情况（综上所述）。我们有a的范围为
｛a｜a＜＜－3｝（提醒你一点，不管是问你范围还是集合，你都用集合答题，绝对不会扣分，当然，在优秀一点的话，你就用区间答题。当然它们是等价的，但是，我一直固执的认为用区间答题的人比用集合答题的人更有数学素养！）
2.显然CuB是A的子集。而A集合含有元素1和2，言下之意就是。B集合中一定不含有元素1和2.仔细想来，B集合不含元素1和2的情况实在是太多了。怎么办呢？很自然地想到，当我们解决一个问题的时候，如果从正面着手太繁，那么我们不妨从反面来思考：B中不含元素1和2的反面就是B中含有元素1或2（细心一点哈，是1或2，不是1和2！！！？？？）。当B中含有元素1时，显然1是二次方程的一个根，那么很自然的把x＝1代入原二次方程，我们得到a＝负一加二次根号3或负一减二次根号3，我们把x＝2代入原二次方程得到a＝－1或－3，也就是a取上面的四个值之一时，B中含有元素1或2.那么反过来，我们题目的解就是从实数集中挖掉上面的四个值就是题目的答案。O（∩＿∩）O谢谢！

Answer 2

以下√ 即根号
A={1，2}
（1）A包含B，B中方程的根可能有三种情况：可能无解，或有一解（x=1或x=2），有两解

若无解，则Δ=4(a+1)²-4(a²-5)=8a+24<0 得a<-3

若有一解则Δ=4(a+1)²-4(a²-5)=8a+24=0 得a=-3
若解为x=1 则代入方程得1+2(a+1)+(a²-5)=0,得a=-1±√3与a=-3矛盾
若解为x=2 则代入方程得 4+4(a+1)+(a²-5)=0 得a=-1或a=-3，因此a=-3

若有两解（x=1，x=2） 则2（a+1）=-3,且a²-5=2 解出的a的值矛盾，故这种情况不存在

综上，a≤-3

(2)A∩(CuB)=A相当于集合A包含于CuB，言下之意是B中的方程取不到x=1，x=2这两个解
将x≠1代入B中方程，得a≠-1±√3
将x≠2代入B中方程，得a≠-1,a≠-3
综上，a≠-1±√3，a≠-1,a≠-3

Answer 3

解：1, A=={X|X²-3X+2=0} 的解集为：x=1或者x=2.
若A∪B=A 则B={X|X²+2(a+1)X+(a²-5)=0}的解集为x=1,或者x=2,或者为空集。 当x=1时，方程X²+2(a+1)X+(a²-5)=0中a取值为： a=-1±√3.
同理， 当x=2时，方程X²+2(a+1)X+(a²-5)=0中a取值为： a=-3,或者a=-1.
所以当a=-1时方程的解为：x=±2,因此a≠-1.
因为△=4(a+1)^2-4(a^2-5)=8a+24<0 所以:a<-3.
所以实数a的取值范围是a<=-3.或者a=-1+√3 .或者a=-1-√3.
解：2,CuB表示在一切实数中B的补集。因为A的解集为x=1,x=2.所以当B的解集不为x=1,x=2时，a的取值范围是：a≠-1±√3且a≠-1且a≠-3.

Answer 4

1.解集合A，X²-3X+2=0→(X-2)(X-1)=0
则A={2，1}
若A∪B=A→B是A的子集
第一种情况:X²+2(a+1)X+(a²-5)中 △<0 此时B为空集→a＜-3
第二种情况：△=0→a=-3→代入式中验根→X=2 此时B={2} 符合题意
第三种情况:△>0→a>-3→此时X²+2(a+1)X+(a²-5)=0中两根为X1=1 X2=2 根据韦达定理，X1+X2=-2(a+1) X1*X2=a²-5 此时a无解
综上所述:a≤-3
2.A∩(CuB)=A→A是(CuB)的子集→2和1两个元素在(CuB)的集合中，则集合B中不含有1和2两个元素
第一种情况:△<0，此时B为空集→a＜-3
第二种情况:△=0→a=-3→代入式中验根→X=2 此时B={2} 则不符合题意
第三种情况:△>0→a>-3 令f(x)=X²+2(a+1)X+(a²-5)
则有f(1)≠0 f(2)≠0→a≠-1，-3，-1+√13,-1-√13
综上所述:a≠-1，-3，-1+√13,-1-√13

Answer 5

1.由A得A＝{1,2}，由AUB＝A可推出：B是A的子集，
即：B=空集，或B＝{1}，或B＝{2},或B＝{1,2}
因为，B={X|X²+2(a+1)X+(a²-5)=0}，
一元二次方程X²+2(a+1)X+(a²-5)=0的判别式⊿＝4*(a+1)^2-4*(a²-5)=8a+24,
①若⊿＝0,方程只有一个根，此时由⊿＝0，解得a=-3
代入原方程得：B={X|X²-4X+4=0}＝{2},符合题意，
②若⊿<0，解得a<-3,此时B＝空集，符合题意
③ 若⊿>0，则a>-3，即方程有两个根，B＝{1,2}，
由根与系数关系得，1+2=-2(a+1)/1=3,解得，a=1/2,与a>-3符合题意，
综上所述，a的取值范围为：a<-3或a=-3或a=1/2
2.由A∩(CuB)=A，可推出A是CuB的子集，由上得A＝{1,2}，故CuB＝{1,2}，
由上得当a=1/2时B＝{1,2}，
因此，要使A∩(CuB)=A，实数a的取值范围是a≠a=1/2

Answer 6

因为X^2-3X+2=0 所以A={X=1或X=2}
因为AUB=A 所以B属于A
1.B={X=1}
带入 得a=-2+根号3 或a=-2-根号3
2.B={X=2}
带入 得a=1或a=3
3.B={X=1 ,X=2}
不成立
4.B为空集
[2(a+1)}^2-4(a^2-5)<0
得a<-3
综上a=-2+根号3 或a=-2-根号3或a<-3或a=1或a=3