Question

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DF⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于点F． （1）求证：∠A=∠F；

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DF⊥AB，交AC于E，交BC的延长线于点F． （1）求证：∠A=∠F； （2）△CDE与△FDC是否相似？并给予证明．

Answer 1

解：（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF=90°， 即∠B+∠F=90°， ∴∠A=∠F； （2）解：△CDE∽△FDC． 理由是：∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD=CD， ∴∠A=∠DCE， ∵∠DEC=∠A+∠ADE，∠DCF=∠DCE+∠ECF， ∴∠CED=∠FCD， ∴△CDE∽△FDC．