Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．。（1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解： （1） ∵点A（3，4）在直线y=x+m上， ∴4=3+m。 ∴m=1。 设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1） 2 。 点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1） 2 的图象上， ∴4=a（3﹣1） 2 ， ∴a=1。 ∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1） 2 。 即y=x 2 ﹣2x+1 （2）设P、E两点的纵坐标分别为y P 和y E 。 ∴PE=h=y P ﹣y E =（x+1）﹣（x 2 ﹣2x+1） =﹣x 2 +3x。 即h=﹣x 2 +3x（0＜x＜3） （3）存在。 要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC。 ∵点D在直线y=x+1上， ∴点D的坐标为（1，2）， ∴﹣x 2 +3x=2． 即x 2 ﹣3x+2=0。 解之，得x 1 =2，x 2 =1（不合题意，舍去）。 ∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形。