Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面BC1D1；（2）求

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面BC1D1；（2）求证：EF⊥平面B1FC．

Answer 1

解答：证明（1）∵E、F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF是三角形BD₁D的中位线，即EF∥BD₁；…（3分）
又EF?平面BD₁C₁，BD₁?平面BD₁C₁，…（5分）
所以EF∥平面BD₁C₁．…（6分）
（2）在△EFB₁中，EF＝

3

，FB1＝

6

，EB₁=3，
∵EF2+F

B

2 1

＝3+6＝9＝E

B

2 1

，所以∠EFB1＝900，即EF⊥FB₁，…（9分）
在△EFC中，EF＝

3

，FC＝

2

，EC＝

5

，
∵EF²+FC²=3+2=5=EC²，所以∠EFC=90°，即EF⊥FC，…（12分）
又FB₁∩FC=F，…（13分）
故EF⊥平面B₁FC．…（14分）