Question

已知等差数列{an}的公差为d，且a2=3…a5=9，数列{bn}的前n项和为sn，且sn=1-12bn（n∈N+）（1）求数列{an

已知等差数列{an}的公差为d，且a2=3…a5=9，数列{bn}的前n项和为sn，且sn=1-12bn（n∈N+）（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记cn=2anbn求证：数列{cn}的前n项和 Tn≥3．

Answer 1

（1）d＝

a5? a2

3

＝2，a₁=1
∴a_n=2n-1
在sn＝1?

1

2

bn中，令n=1得b1＝

2

3

当n≥2时，sn＝1?

1

2

bn    sn?1＝1?

1

2

bn?1，
两式相减得bn＝

1

2

bn?1?

1

2

bn，
∴

bn

bn?1

＝

1

3

(n≥2)
bn＝

2

3

(

1

3

)n?1＝

2

3n

（2）cn＝

2an

bn

＝(2n?1)×3n，
T_n=1×3¹+3×3²+5×3³++（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
-2T_n=3+2（3²+3³++3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=3+2×

9(1?3n?1)

1?3

?(2n?1)×3n+1
∴T_n=3+3ⁿ⁺¹×（n-1）
∵n∈N⁺∴T_n≥3