Question

证明曲线积分与路径无关，并计算积分值∫(2，1)(1，0)（2xy-y4+3）dx+（x2-4xy3）dy

证明曲线积分与路径无关，并计算积分值∫(2，1)(1，0)（2xy-y4+3）dx+（x2-4xy3）dy．

Answer 1

由于

?

?y

(2xy?y4+3)＝2x?4y3＝

?

?x

(x2?4xy3)，且2xy-y⁴+3和x²-4xy³在整个平面都具有一阶连续偏导数
∴

∫	(2，1) (1，0)

（2xy-y⁴+3）dx+（x²-4xy³）dy与积分路径无关
取积分路径为从点（1，0）到点（2，0）再到点（2，1），则

∫	(2，1) (1，0)

（2xy-y⁴+3）dx+（x²-4xy³）dy
=

∫

2 1

3dx+

∫

1 0

(4?8y3)dy
=5

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示