在正三角形△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△
在正三角形△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF沿EF折成到△A1EF的位置，使二面...
在正三角形△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF沿EF折成到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B，A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B-A1P-F的余弦值；（3）求点F到平面A1BP的距离．
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（1）不妨设正三角形ABC的边长为3
在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD．
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．
（2）在图3中，过F作FM⊥A1P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有PQ=
BP=1
∴PF=PQ①，
∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=
，
∴A1F=A1Q，
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角．
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，又∴A1P=
．
∵MQ⊥A1P，∴MQ=
=
∴MF=
，
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=
，
在△FMQ中，cos∠FMQ=
=-
在图1中，取BE中点D，连接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD．
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．由
题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．
（2）在图3中，过F作FM⊥A1P与M，连接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有PQ=
| 1 |
| 2 |
∴PF=PQ①，
∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=
| 3 |
∴A1F=A1Q，
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②，
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角．
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，又∴A1P=
| 5 |
∵MQ⊥A1P，∴MQ=
| A1Q?PQ |
| A1P |
2
| ||
| 5 |
∴MF=
2
| ||
| 5 |
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=
| 3 |
在△FMQ中，cos∠FMQ=
| MF2+MQ2?QF2 |
| 2MF?MQ |
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