Question

已知函数f（x）=x+4x．（1）判断并证明f（x）的奇偶性（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并加以证明

已知函数f（x）=x+4x．（1）判断并证明f（x）的奇偶性（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并加以证明；（3）求f（x）单调区间、值域．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
又f（-x）=-（x+

4

x

）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（2，+∞）上单调递增．
证明：f′（x）=1-

4

x2

=

x2?4

x2

，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）上单调递增；
（3）f′（x）=1-

4

x2

，
令1-

4

x2

＞0得x＞2或x＜-2；令1-

4

x2

＜0得-2＜x＜0或0＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；单调递减区间为（-2，0），（0，2）．
f（-2）=-2+

4

?2

=-4，f（2）=2+

4

2

=4，
所以f（x）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）．