Question

如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延

如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．（1）证明：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴∠ABC=60°； 在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°， ∴∠E=30°； ∵∠E=∠ECF， ∴∠ECF=30°， ∴∠ECF+∠OCB=90°； ∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°， ∴∠OCF=90°， ∴CF为⊙O的切线； （2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°， ∴AC=ABcos30°= 3 ，BC=ABsin30°=1； ∵AC=CE， ∴BE=BC+CE=1+ 3 ，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°， ∴MB=BEsin30°= 1+ 3 2 ， ∴MO=MB-OB= -1+ 3 2 ．