Question

如图1，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC=30°，点D是AC边上一点，BC=DC，以DC为一边作等边三角形DC

如图1，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC=30°，点D是AC边上一点，BC=DC，以DC为一边作等边三角形DCE．（1）求证：BD=OE；（2）将△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜60°）得到△D1CE1（如图2），判断BD1与OE1是否相等，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OB，∠A=30°，
∴OC=

1

2

AB，BC=

1

2

AB，
∴OC=BC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠OCB=90°-30°=60°，
∵△DCE是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠OCB，
∴∠OCB+∠OCD=∠DCE+∠OCD，
即∠BCD=∠OCE=90°，
在△BCD和△OCE中

BC＝OC ∠BCD＝∠OCE CD＝CE

∴△BCD≌△OCE，
∴BD=CE．

（2）解：BD₁与OE₁相等，
理由是：∵△D₁CE是等边三角形，
∴CD₁=CE₁，∠D₁CE₁=60°=∠OCB，
∴∠OCB+∠OCD₁=∠D₁CE₁+∠OCD₁，
即∠BCD₁=∠OCE₁，
在△BCD₁和△OCE₁中

BC＝OC ∠BCD1＝∠OCE1 CD1＝CE1

∴△BCD₁≌△OCE₁，
∴BD₁=OE₁．