Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（1）若a=1，求曲线y＝f(x)在x＝12处切线的斜率；（2）求函数f（x）的单

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（1）若a=1，求曲线y＝f(x)在x＝12处切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）设g（x）=2x，若对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈[0，1]，使f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=1时，f（x）=x+lnx
∴f'（x）=1+

1

x

，可得f'（

1

2

）=3
∴曲线y＝f(x)在x＝

1

2

处切线的斜率k=f'（

1

2

）=3
（2）由题意，得f'（x）=a+

1

x

，（x＞0）
∴当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；
当a＜0时，f'（x）=a+

1

x

在（0，-

1

a

）上为正数，在（-

1

a

，+∞）上为负数
由此可得：当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；
当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上为增函数，在（-

1

a

，+∞）上为减函数
（3）由题意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．
∵g（x）=2^x，[0，1]上是增函数
∴g（x₂）在[0，1]上的最大值为g（1）=2
即f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2
当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数，f（x₁）没有最大值；
当a＜0时，f（x₁）在（0，+∞）上的最大值为f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）＜2
解之得a＜?

1

e3

，可得实数a的取值范围为（-∞，-

1

e3

）．