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(2014?房县三模)如图,AB是⊙O的直径,C,D在⊙O上,且BC=CD,或C作CE⊥AD,交AD延长线于E,交AB延长线
(2014?房县三模)如图,AB是⊙O的直径,C,D在⊙O上,且BC=CD,或C作CE⊥AD,交AD延长线于E,交AB延长线于F点,(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若...
(2014?房县三模)如图,AB是⊙O的直径,C,D在⊙O上,且BC=CD,或C作CE⊥AD,交AD延长线于E,交AB延长线于F点,(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若AB=6,AE=4.8,求CF长;(3)若AB=4ED,求cos∠ABC的值.
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(1)证明:连接OC、AC
∵CE⊥AD
∴∠EAC+∠ECA=90°
∵OC=OA
∴∠OCA=∠OAC
又∵BC=CD
∴∠OAC=∠EAC
∴∠OCA=∠EAC
∴∠ECA+∠OCA=90°
∴EF是⊙O的切线.
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(2)解:∵EF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°
又∵∠AEF=90°∠EFA=∠CFO
∴△COF∽△EAF
∴
=
即
=
解得:OF=5
在Rt△OCF中
CF=
=
=4
(3)解:∵EF是⊙O的切线
∴∠ECD=∠EAC
又∵BC=CD
∴∠EAC=∠BAC
∴∠ECD=∠BAC
又∵AB是直径
∴∠BCA=90°
在△BAC和△DCE中
∠BCA=∠DEC=90°
∠ECD=∠CAB
∴△CDE∽△ABC
∴
=
又∵AB=4DE,CD=BC
∴
=
∴BC=
AB
∴cos∠ABC=
=
∵CE⊥AD
∴∠EAC+∠ECA=90°
∵OC=OA
∴∠OCA=∠OAC
又∵BC=CD
∴∠OAC=∠EAC
∴∠OCA=∠EAC
∴∠ECA+∠OCA=90°
∴EF是⊙O的切线.
(2)解:∵EF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°
又∵∠AEF=90°∠EFA=∠CFO
∴△COF∽△EAF
∴
OC |
AE |
OF |
AF |
即
3 |
4.8 |
OF |
OF+3 |
解得:OF=5
在Rt△OCF中
CF=
OF2?OC2 |
52?32 |
(3)解:∵EF是⊙O的切线
∴∠ECD=∠EAC
又∵BC=CD
∴∠EAC=∠BAC
∴∠ECD=∠BAC
又∵AB是直径
∴∠BCA=90°
在△BAC和△DCE中
∠BCA=∠DEC=90°
∠ECD=∠CAB
∴△CDE∽△ABC
∴
CD |
DE |
AB |
BC |
又∵AB=4DE,CD=BC
∴
BC | ||
|
AB |
BC |
∴BC=
1 |
2 |
∴cos∠ABC=
BC |
AB |
1 |
2 |
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