Question

求数列极限：

Answer 1

1/2那个答案显然不靠谱啊，上下取前两项(1x3)/(2x4)=3/8<1/2
而且越乘越小

如果熟悉sinx的高次积分的话，
∫(0->π/2) (sinx)^2n dx= [(2n-1)!!/(2n)!!](π/2)
所以(2n-1)!!/(2n)!!=(2/π)∫(0->π/2) (sinx)^2n dx

un=√[(2n-1)!!/(2n)!!]=√[(2/π)∫(0->π/2) (sinx)^2n dx]
因为|sinx|<1，所以lim (sinx)^2n=0
那么lim un=0

追问

我觉得您回答是正确的。但最后一步为什么极限符号可以与定积分交换次序呢？

非常感谢您

追答

其实也不是换次序啦，
应该是积分中值定理才对
∫(0->π/2) (sinx)^2n dx=(π/2)*(sinα)^2n ，其中α∈(0,π/2)
所以lim ∫(0->π/2) (sinx)^2n dx=lim (π/2)*(sinα)^2n=0
所以lim un=0

追问

非常感谢!

为了完美，我想补充一句，除使用积分中值定理外，还要说明由中值定理得到的α不等于π/2.这由定积分的性质易得。

追答

不用定积分的性质，只要有sinx的单调性就可以得到的

追问

要用sinx的单调性和定积分的区间可加性及单调性吧

追答

单调性就可以了。
单调的话，他的中值一定是介于最大值和最小值之间的。

Answer 2

该数列的极限就是1/2.

追问

请问是怎么做的？能否提示一下？谢谢

感觉极限为0

追答

首先我要对评价我的人说一句，我承认1/2的确是错的，想得简单了些，但是也不是你这样(1x3)/(2x4)=3/8<1/2；而轻易排除的，首先他是有根号，请问是否需要开跟呢？谁不知道会越来越小，但是不可忽视的一点，极限本身就是估值，没有绝对准确的数。