Question

如图，斜三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，E、F分别是A1C1、AB

如图，斜三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

Answer 1

证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，
在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，
所以FM

∥

.

1

2

AC，
因为E为A₁C₁的中点，AC

∥

.

A1C1，
所以EF∥EC₁，又FM∥A₁C₁从而四边形EFMC₁为平行四边形，
所以EF∥C₁M，又因为C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
EF∥平面BB₁C₁C；
（2）在平面AA₁C₁C内，作A₁O⊥AC，O为垂足，
因为∠A₁AC=60°，所以AO=

1

2

AA₁=

1

2

AC，
从而O为AC的中点．
所以OC

∥

.

A₁E，因而EC

∥

.

A₁O₁，
因为侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，交线为AC，
A₁O⊥AC，所以A₁O⊥底面ABC．
所以EC⊥底面ABC，
又因为EC?平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC．