Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（1）求证：DM∥平面PCB；（2）求证：AD⊥PB；（3）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

（1）取PB的中点F，连接MF、CF，
∵M、F分别为PA、PB的中点．
∴MF∥AB，且MF=

1

2

AB．
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．
∴四边形CDFM是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF⊥平面PCB，
∴DM∥平面PCB．
（2）取AD的中点G，连接PG、GB、BD．
∵PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．
（Ⅲ）V_P-MBD=V_B-PMD
V_B-PMD=

1

3

×

1

2

×

2

2

×

2

×

3

=

3

6