Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EFP是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四边形AEPF＝12S△ABC．其中正确结论的个数是（　　）A．2个B．3个C．4个D．5个

Answer 1

解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，故②正确；
在△APE和△CPF中，

∠APE＝∠CPF AP＝PC ∠EAP＝∠C＝45°

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①正确；
∴△EFP是等腰直角三角形，故③正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF=

2

PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=

2

PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APF+S_△APE=S_△APF+S_△CPF=S_△APC=

1

2

S_△ABC，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②③⑤共4个．
故选C．