Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（1）证明数列{an-2}为等比数列；（

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（1）证明数列{an-2}为等比数列；（2）证明Sn＜2（n+1）．

Answer 1

解答：证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，
数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，
∴a_n+S_n=3+3+2（n-1）=2n+4，
当n≥2时，由a_n+S_n=2n+4，得
a_n-1+S_n-1=2n+2，
两式相减得a_n-a_n-1+a_n=2
∴2（a_n-2）=a_n-1-2
∴{a_n-2}是首项为a₁-2=1，公比为

1

2

的等比数列．
（2）由（1）知a_n-2=

1

2n?1

，∴an＝

1

2n?1

+2，
∴Sn＝

1? 1 2n

1? 1 2

+2n=2-

2

2n

+2n
=2（n+1）-

2

2n

，
∴S_n＜2（n+1）．