Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB、AC交于点G、F

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB、AC交于点G、F.(1)求证：GE=GF(2)若BD=1，求DF的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）根据已知条件易证明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，则DE=AF，从而进一步证明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF； （2）根据直角三角形的性质可以得到CE= AC，则CE= CD，即AB是CE的垂直平分线，则BC=BD=1．再根据直角三角形的性质进一步求得AB、BE的长，则AE=AB-BE，结合（1）中的全等三角形，知DF=AE． （1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°， ∴∠CFD=90°． ∵CD⊥AB， ∴∠AEC=90°． 在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC， ∴Rt△AEC≌Rt△DFC． ∴CE=CF． ∴DE=AF． 而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°， ∴Rt△AFG≌Rt△DEG． ∴GF=GE． （2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°， ∴CE= AC= CD． ∴CE=ED． ∴BC=BD=1． 又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°， ∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°， ∴BE= BC= BD= ． 在直角三角形ABC中，∠A=30°， 则AB=2BC=2． 则AE=AB-BE= ． ∵Rt△AEC≌Rt△DFC， ∴DF=AE= ．